APRENDAMOS TRIGONOMETRIA M&P

En el siguiente blog se hablara de trigonometria y se demostrara como se aplico el proceso de aprendizaje sobre este tema en los estudiantes de la Institución Educativa Francisco Torres Leon del grado 10-3 en la modalidad Academica

Integrantes: Paula Fernanda Rincon Poveda

Indice:

1. Presentación en Power Point de la elaboración y uso del clinómetro. 
2. Clasificación de los triángulos, las propiedades de un triángulo rectángulo. 
3. Explicación de las razones trigonométricas. 
4. Un taller de solución de triángulos rectangulos.
5. El teorema de pitágoras. 
6. Trabajo realizado con el clinómetro en la Institución.
7. Lugares medidos en la institución.
8. Ejercicios propuestos por los estudiantes utilizando razones trigonométricas.
9. Videos.
10. Evaluación.

1. Uso del clinometro.

Clinómetro 

2. Clasificación de los triángulos: 

Un triángulo es un polígono que une tres puntos con líneas rectas. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo. Un triángulo tiene tres lados (a, b y c), tres vértices (A, B y C) y tres ángulos interiores (A,B y C)

Los triángulos los podemos clasificar en 2 criterios: 

• Según la medida de sus lados. 
• Según la medida de sus ángulos. 

Según las medidas de sus lados:

 

Equilátero:

• Los 3 lados (a, b y c) son iguales.              
• Los 3 ángulos interiores son iguales. 

Isósceles:

• Tienen 2 lados iguales (a y b) y un lado distinto (c) 
• Los ángulos A y B son iguales, y el otro agudo es distinto 

Escaleno:

• Los 3 lados son distintos 
• Los 3 ángulos son también distintos 

Según las medidas de sus ángulos:

Acutángulo:

• Tienen los 3 ángulos agudos (menos de 90 grados).

 Rectángulo:

• El ángulo interior A es recto (90 grados) y los otros 2 ángulos son agudos.
• Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos (c y b), el otro lado hipotenusa.

Obtusángulo:

• El ángulo interior A es obtuso (más de 90 grados). 
• Los otros 2 ángulos son agudos.

Triángulo oblicuángulo:

• Cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos. 

Propiedades de un triángulo rectángulo.

En todo triángulo rectángulo se cumple que: 

• Tiene dos ángulos agudos y uno recto de 90°.
• La suma de los ángulos agudos del triángulo es de 90°.
• La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.
• El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.
• La suma de la hipotenusa y el diámetro de un círculo inscrito en el triángulo es igual a la suma de los catetos.
• Para efectos de área, un cateto cualquiera se puede considerar como base y el otro cateto como altura.
• La altura que parte del vértice del ángulo recto, coincide con un cateto, con tal de considerar al otro cateto como una base.

Área de un triángulo rectángulo

 El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). Su área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (cateto a y b). 

Área= b•a÷2 (Donde b es la base y a es la altura)

Perímetro de un triángulo rectángulo

 El perímetro de un triángulo rectángulo es la suma de los tres lados.

Perímetro= a+b+c (Donde a,b y c corresponden a cada lado del triángulo)

3. Razones trigonometricas.

• La razón trigonométrica se refiere a los vínculos que pueden haber entre los lados de un triángulo rectangulo. Las tres razones trigonometricas mas comunes son:

• El seno, (sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
• El coseno (cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
• Tangente (tan) es la razón existente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

• Tenemos que conocer qué son los catetos y la hipotenusa. El cateto adyacente es aquel que pasa por el ángulo de noventa grados y el cateto opuesto es el que esta opuesto al ángulo. Ambos conforman el ángulo de 90º y La hipotenusa  es el lado mayor del triángulo.

-Razones trigonométricas inversas: cosecante, secante y cotangente

Las funciones trigonométricas inversas son las inversas de las funciones trigonométricas que ya conocemos: seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente; y nos permiten calcular los ángulos de un triángulo a partir de las medidas de los lados. En este capítulo hay varios conceptos y propiedades importantes relacionados a las funciones trigonométricas inversas, y por eso hemos preparado una buena cantidad de ejercicios para que no caigas en ninguna de las trampas al momento del examen.

4. Solucion de triangulos rectangulos.

SOH-CAH-TOA: una manera sencilla de recordar las razones trigonométricas

• Utilizando razones trigonometricas encuentre los valores necesarios en los siguientes triangulos.

5. Teorema de Pitágoras.

En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.                                    

                                                                                                                              Pitagoras.

Primero debemos recordar que:  

• Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. 
• 
  
• En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. 

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

(Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados continuos al ángulo recto (cateto) al cuadrado. Es decir:

c² = a² + b² (Siendo a y b los catetos y c la hipotenusa)

6. Trabajo realizado con el clinómetro en la Institución.

El trabajo que realizamos con ayuda de el clinometro esta relacionado con diferentes puntos en la institucion, para utilizar el clinometro y hallar las medidas necesarias correctamente es importante tener en cuenta:

• la distancia que hay desde el punto de observacion hasta el objeto que se va a medir.
• la altura de el suelo a el ojo observador.
• El angulo correcto ya sea de elevacion o depresion.

Se conoce que las razones trigonometricas son usadas en triangulos rectangulos entonces debemos relacionarlas con cada situacion. Ejemplo:

En la Institucion Francisco Torres León Puente Amarillo se inculca en todos los estudiantes el buen perfil academico que debe manejar, el aprendizaje se hace mas facil y divertido con las estrategias de involucrase con el ambiente o en areas diferentes a el salon de clase, los  estudiantes de la modalidad academica de el grado 10° aprendimos sobre razones trigonométricas y todo lo involucrado a el tema, la elaboración y uso de un clinometro y la practica de estas en la vida diaria, facilitamos la comprencion de el tema aprovechando cada uno de los lugares o  espacios  que el colegio nos brinda para mejor comodidad y mayor beneficio para todos los estudiates que lo conforman, de esta manera se logro adquirir un conocimiento util y una formacion progresiva en el area de matemáticas.

7. Lugares medidos en la Institución.

1) Muro de escalar

    

     A) Primero nos piden hallar el largo que hay desde el borde de la plancha hasta la base del muro de escalar. Para esto nos ubicamos en el borde de la plancha con el clinómetro sostenido, mirando hacia la base del muro de escalar como se muestra en la imagen. 

Luego de obtener el ángulo (21°) usamos la razón trigonométrica tangente que es la mas apropiada para esta situación. 

Recordemos que tangente es cateto opuesto sobre cateto adyacente. Entonces quedaría así:

Tan21°= 1.43/x 

X=1.43/Tan21° Recordamos que cuando la incógnita se encuentra como denominador se divide.

X=3.72527m

A este resultado le restamos 10cm que es la altura de la plancha.

X= 3.62527m

R/ La distancia del borde de la plancha hasta la base del muro de escalar es de 3.62527m

B) En este caso nos piden hallar la altura de 4 placas que conforman el muro de escalar, para ello nos ubicamos de frente al muro y usando el clinómetro hallamos el ángulo de elevación.

Con el ángulo de elevación y con la distancia de la plancha que hallamos anteriormente podemos resolver esta situación.

Para este caso también usaremos tangente, porque tenemos el ángulo(41°) y también el cateto adyacente que vendría siendo la plancha.

Sería así: 

Tan41°= X•3.62527m

X=Tan41°•3.62527m Como en este caso la incógnita se encuentra arriba debemos multiplicar.

X=3.15139m

A este le sumamos la distancia del suelo al punto del observador(1.43m).

X=4.58139m 

Y posteriormente le restamos también los 10cm de la altura de la plancha. 

X=4.48139m   R/ La altura de las 4 placas es de 4.48139m.


2) Puerta

Se necesita hallar la altura de la puerta de la salida de las rutas de Villavicencio. Para esto nos ubicamos a 3.83m del frente de la puerta con el clinómetro apuntando hacia la parte mas alta de la puerta.

Con el ángulo (13°) y con la distancia que hay del punto de observación hasta la base de la puerta (3.83m) usamos la tangente que es la mas apropiada ya que tenemos los datos del angulo (13°) y al cateto adyacente (3.83m).

Tan13°=X•3.83m

X=Tan13°•3.83m Como la incógnita esta arriba, multiplicamos.

X=0.88422m Le sumamos la distancia que hay del suelo hasta el punto de vista del observador (1.55m).

X=0.88422m+1.55m=2.43422m

R/ La altura de la puerta es de 2.43422m.

3)Torre

Se necesita hallar la altura de la torre que hay al frente del salon del profesor isidro, si nos ubicamos a 2,30m de la torre se observa su parte superior con un angulo de elevacion de 38°.

De acuerdo con los siguientes datos continuamos a solucionar el ejercicio, para hallar este valor utilizaremos la razon trigonometrica tengente que equivale a el lado opuesto sobre el lado adyacente, en este caso hallaremos el opuesto asi que alli ira la  incognita.

Tan 38°= X/2,30m                                             

X= tan 38°. 2,30m

X= 1,79695m

A este resultado le sumamos la altura de

el observador para asi obtener la altura

total de la torre.

X= 1,79695m + 1,54m

X= 3,34695m

RTA: La torre tiene una altura equivalente a

3,34695metros.

4) Biga comedor.

Se necesita hallar el ancho de la biga que hay en el comedor, se observa un angulo de 23° desde una distancia de 2,64m.

Para solucionar el siguiente ejercicio utilizaremos la razón trigonométrica de tangente.

Tan 16,8°= X/3m                                 

X= Tan 16,8°.3m                                   

X= 0,90575m       


Tan 27,2°= X/3m    

X= Tan 27,2 . 3m                          

X= 1,59179m



X= 1,59179m - 0,90575m = 0,63604m

RTA= Elancho de la viga es de 0,63604 metros.

5) Tablero polideportivo cubierto:

Hallar a anchura de el tablero norte de la cancha cubierta, se observa el angulo superior de 36° y el inferior de 22° a una distancia de 3,21 metros de el tablero.

Para resolver la siguiente situación seguiremos usando la razón trigonométrica de tangente (opuesto sobre adyacente) como se muestra a continuacion:

Tan 36°= X/3,21m

X= Tan 36°.3,21m

X= 2,33220m

Tan 22°= X/3,21m

X= Tan 22°.3,21m

X= 1,29692m

X= 2,33220m - 1,29692m = 1,03528m

RTA: El tablero de la cancha mide 1,03528m

6) Puerta salon de matematicas:

Justo en frente de la puerta de el salon de matematicas de el profesor Diego Pinto a solo 1,20m se observa un angulo de elevacion de 31°, teniendo en cuenta los datos anteriores halle la altura de la puerta?

Para desarrollar el ejercicio seguiremos usando la razón trigonométrica de tangente porque es la mas adecuada y hace fácil la solucion de el ejercicio de acuerdo con los datos adquiridos.

Tan 31°= X/1,20m

X= Tan 31°.1,20m                                                      

X= 0,72103m

A este resultado tenemos que sumarle la
altura de el observador para asi obtener
la altura total de la puerta.

X= 0,72103m + 1,55m = 2,27103m


RTA: La altura de la puerta de el salón de
el profesor diego es de 2,27103 metros.

                   Ejercicios propuestos

7) Edificio, sombra:

Si un edificio tiene 120m de altura y el sol se encuentra en un angulo de 35°, cual es la longitud de la sombra que proyecta el edificio.

Tan 35°= 120m/X

X= 120m/Tan35°

X= 171,37776m

RTA: La longitud de la sombra que proyecta el edificio es de 171,37776m

2. Calcular la altura, $a$, de un árbol sabiendo que, si nos situamos 8 metros de la base del tronco, vemos la parte superior de su copa en un ángulo de 36.87º.

Como la altura $a$ es el cateto opuesto al ángulo, utilizaremos el seno:

3. problema

Las ciudades A, B y C son los vértices de un triángulo rectángulo:

Calcular la distancia entre las ciudades A y C y entre las ciudades B y C si la ciudad B se encuentra a 100km de la ciudad A y la carretera que una A con B forma un ángulo de 35º con la carretera que une A con C.

Por tanto, la distancia entre las ciudades A y C es de 122,1 kilómetros y la distancia entre las ciudades B y C es de 70,08 kilómetros.

4.problema

Calcular cuánto mide la mediana de un triángulo equilátero (los tres ángulos son de 60 grados) cuyos lados miden 12cm.

Ayuda: la mediana es la distancia del segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a éste.

La mediana forma un triángulo rectángulo:

Del triángulo conocemos tres ángulos: uno mide 60º, otro 30º y el otro 90º. También conocemos su hipotenusa $h=12cm$.

Luego la mediana mide 10,392 centímetros.

9. Videos.

https://www.youtube.com/watch?v=CyeFeJxyCYw&t=12s

10. Evaluacion.

1- Para desarrollar problemas con ejercicios de triángulos rectángulos ¿que ángulo es fundamental?

A- 45°

B- 180°

C- 90°
D- 60° 

2- Para desarrollar problemas con ejercicios de trigonometría se necesita:

A- Triángulos rectángulos

B- Triángulos equilateros

C- Triángulos isósceles
D- Ninguna de las anteriores

3- La distancia mas larga de un triangulo es:

A- catetos

B- ángulos

C- hipotenusa
D- Ninguna porque no tiene 

4- El frente de un angulo en un triangulo es:

A- Cateto adyacente

B- Cateto opuesto

C- Hipotenusa

D- Todas las anteriores

5- Entre mayor angulo se obtiene:

A- Mayor distancia

B- Menor distancia

C- Ninguna de las anteriores

D- Mayor angulo

6- Seno es igual a:

A) Adyacente sobre hipotenusa

B) Hipotenusa sobre opuesto

C) Opuesto sobre hipotenusa

D) Ninguna de las anteriores

7- Coseno es igual a:

A) Adyacente sobre hipotenusa

B) Hipotenusa sobre adyacente

C) Opuesto sobre hipotenusa

D) Ninguna de las anteriores

8) ¿Cuáles son los lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo?

A) Catetos
B) Hipotenusa
C) Vértices
D- Angulos
9) ¿Cuál es el lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo?

A) Hipotenusa
B) Cateto opuesto
C) Cateto adyacente
D- Angulos 


10) Los ángulos agudos en un triángulo rectángulo suman:

A) 180°
B) 90°
C) 360°
D) 45°


11) ¿Cuánto debe medir un ángulo obtuso?

A) Mas de 190°
B) Menos de 360°
C) Entre 90° y 180°
D) Ninguna de las anteriores


12) Si los lados de un triángulo miden 3m, 8m y 5m ¿qué valor tiene su perímetro?

A) 11m
B) 32m
C) 8m
D) 16m

13) Las razones trigonometricas relacionan dos lados y un angulo en los triangulos:

A) Acuangulos

B) Isoceles

C) Rectangulos

D) Equilateros

14) En un triangulo rectangulo el lado opuesto al angulo recto se llama:

A) Cateto opuesto

B) Hipotenusa

C) Cateto adyacente

D- Todas estan correctas

15) Tangente es igual a:

A) Adyacente sobre hipotenusa

B) Hipotenusa sobre adyacente

C) Opuesto sobre adyacente

D- SENO

16) si en un triangulo rectángulo conocemos su base y la altura, que podemos calcular?

A) El cateto opuesto

B) El cateto adyacente

C) El angulo obtuso

D) La hipotenusa

17)Cateto opuesto entre hipotenusa:

A) Seno
B) Coseno
C) Adyacente
D) Secante

18) Cateto opuesto entre cateto adyacente:

A) Hipotenusa
B) Cosecante
C) Coseno
D) Tangente

19) Los anugulos agudos en un triangulo rectangulo suman

A) 90°
B) 360°
C) 45°
D) 180|

20) Si un triangulo rectangulo tiene como base 6cm y como altura 8cm, su area corresponde a:

A) 48cm
B) 24cm
C) 14cm
D) 96cm

RESPUESTAS:

1) C

2) A

3) C 

4) D

5) C 

6) A

7) B

8) A

9) A

10) A

11) C

12) D

13) C

14) B

15) C

16) D

17) A

18) D

19) A

20) B